整形变量Integer

类型拓展与截取

无符号数的零拓展：无符号数转换为更大的数据类型，只需要在开头添加0即可，这种运算也被称为零拓展。

**补码数的符号拓展：**补码数转换为更大的数据类型需要在开头添加最高有效位的值，即：如果为负数，需要在拓展出来的开头位置添加数个1，正数需要添加数个0。

截断数字

当我们将一个位数为 w 的数字截断为 k 位的数字时，我们会丢弃最高的w-k位。

**截断无符号数：**相当于做mod运算，x′=x mod 2kx'=x\ mod\ 2^k

**截断补码数值：**和无符号值相似，不过需要将最高位转换为符号位

运算与溢出

无符号数字加法：溢出时会丢弃最高位，实际上相当于做了个mod操作

x+wuy={x+y,x+y<2wx+y−2w,2w≤x+y<2w+1x+^u_wy= \left\{ \begin{array}{l} x+y,\quad x+y<2^w\\ x+y-2^w, \quad 2^w\leq x+y<2^{w+1}\\ \end{array} \right.

检测无符号数是否溢出：当s<xs<x或s<ys<y时发生了溢出

补码加法：溢出时会产生正溢出和负溢出，正溢出是数字太大，把符号位改成了1而变成了负数，负溢出为数字太小把符号位改成了0而变成了正数

对于满足−2w−1≤x,y<2w−1-2^{w-1} \leq x,y<2^{w-1}​的整数，有：

x+wty={x+y−2w,2w−1≤x+y正溢出x+y,−2w−1≤x+y<2w−1正常x+y+2w,x+y<−2w−1负溢出x+^t_wy = \left\{ \begin {array}{l} x+y-2^w,\qquad 2^{w-1} \leq x+y\qquad \quad 正溢出\\ x+y,\qquad -2^{w-1}\leq x+y < 2^{w-1}\qquad 正常\\ x+y+2^w,\quad x+y<-2^{w-1} \qquad \quad负溢出 \end{array} \right.

对于乘法来说，值的范围会大很多，这里分情况讨论一下，假设两个乘数是 x,y 并且都是 w 位的：

  • 无符号数：至多 2w 位
    • 范围$ 0≤x×y≤(2w−1)2=2{2w}−2^{w+1}+1$
  • 有符号数，最小的负数：至多 2w - 1 位
    • 范围x×y≥(−2w−1)×(2w−1−1)=−22w−2+2w−1x×y≥(−2^{w−1})×(2^{w−1}−1)=−2^{2w−2}+2^{w−1}
  • 有符号数，最大的正数：至多 2w 位，只有(TMinw)2(TMin_w)^2一种情况
    • 范围 x×y≤(−2w−1)2=22w−2x×y≤(−2^{w−1})^2=2^{2w−2}

如果需要保证精度，就需要用软件来实现了。另外，计算的无符号乘法的时候，会忽略最高的 w 位，相当于 UMultw(u,v)=u⋅v mod 2wUMult_w(u,v)=u⋅v\ mod\ 2^w

今日体重

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